次日,周三。
昨夜一场不大不小的春雨,洗去了空气中最后一丝浮尘,也让教学楼窗外那几株上了年纪的玉兰树,鼓出了一叶白胖的花苞。阳光透过明净的玻璃,在课桌上投下温暖而清晰的光斑,空气中弥漫着一股雨后青草与湿润书页混合的、令人安心的味道。
一切都显得那么平静,仿佛昨日黄昏那场无声的、充满了火药味的对峙,只是一场错觉。
彦宸趴在桌上,百无聊赖地转着笔。他的思绪,像一团被猫咪玩弄过的毛线,杂乱地纠结在一起。张甯那冰冷的、不带一丝感情的凝视,以及苏星瑶穿着他外套时,那滴水不漏的、灿烂的微笑……这两幅画面,在他的脑海里,循环播放,剪不断,理还乱。
他的眼角偷眼望去,张甯穿了一件米白色的、样式简简单单的衬衫,头发依旧用一根黑色的皮筋,松松地束在脑后。她和往常一样,安静地坐在座位上,时而翻书,时而做题。她会和前桌的班长轻声讨论问题,也会在别人向她请教时,点头倾听。
她既没有厌恶地把“爱心早餐”扔到垃圾桶里,也还在小口小口喝着专门给她泡的柚子茶,当然也没有特意转回头对自己有柔情蜜意的凝视。
一切,都和昨天、前天、以及过去的每一个寻常的上学日,没有任何区别。
然而,正是这种“没有任何区别”,才让彦宸感到了一种烦躁的、无处发泄的不安。
为了摆脱这种不安,他从一摞卷子底下,抽出了一张昨天刚拿到的、数学组内部交流用的“难题萃选”。这对他而言,是最好的精神避难所。只要沉浸在那些由符号与逻辑构建的、纯粹而严谨的世界里,现实中那些暧昧不明的、无法用公式量化的人际关系,就会暂时被隔绝在外。
他很快就被一道解析几何的压轴题吸引了。
题目不算新颖,却很经典:
已知椭圆 $c: \\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$。若点 $p$ 在椭圆 $c$ 上,且 $\\angle F_1pF_2 = 90^\\circ$。
一、求 $\\triangle F_1pF_2$ 的面积。
二、若这样的点 $p$ 存在,证明 $a^2 \\le 2c^2$。
彦宸的眉头,微微皱起。
这道题,像一头披着几何外皮的、代数的猛兽。他几乎是在瞬间,就嗅到了其中隐藏的、庞大的计算量。
但这正是他所需要的。他需要一场酣畅淋漓的、逻辑上的“肉搏战”,来排空大脑里所有纷乱的思绪。
他没有丝毫犹豫,立刻在草稿纸上建立起了坐标系。设点、列式、联立方程……他的笔尖,像一把锋利的手术刀,精准而又粗暴地,将那个优雅的椭圆,层层解剖,还原成了一串冰冷的、由x和y构成的代数关系式。
他的解题风格,向来如此。以力破巧,以繁胜简。他坚信,在绝对的、压倒性的算力面前,一切精巧的构思,都不过是花拳绣腿。他的草稿纸上,很快便铺开了一张由各种公式与推导构成的、密不透风的大网。数字与符号,在他的笔下,仿佛变成了千军万马,以一种近乎于“闪电战”的姿态,向着那个最终的答案,发起了狂暴的、地毯式的攻击。
“唰唰唰”的笔尖摩擦声,在安静的早自习课堂里,显得格外清晰。
第一问的面积 $S = a^2 - c^2$,他几乎是心算出结果,再反推过程。
第二问的证明,则是一场纯粹的、考验计算能力的硬仗。他将所有条件都转化为一个关于变量的二次方程,然后冷静地,用判别式 $\\delta \\ge 0$ 这个无上法门,对问题进行最终的裁决。
当那个最终的结论 $a^2 \\le 2c^2$ 在他笔下清晰地浮现时,他长长地舒了一口气。整个过程行云流水,耗时不到一刻钟。这是一种纯粹的、属于征服者的快感。他用绝对的计算能力,碾压了这道题所有的复杂性。
此时,一个带着几分好奇的、轻柔的声音,从他身侧响起。
“这道题,你用的是纯坐标法吗?”
彦宸的笔尖一顿。他甚至不需要转头,就能闻到那股熟悉的、混合着白茉莉清香与少女体温的、淡淡的气息。
是苏星瑶。
他“嗯”了一声,头也没抬,继续着自己最后的验算。五分钟后,他将笔往桌上一扔,长长地舒了一口气,整个人向后靠在椅背上。草稿纸上,两个问题的答案,清晰地陈列在那里,像两座被他刚刚攻克下来的、冒着硝烟的堡垒。
“搞定。”他用一种只有自己能听见的声音,宣布了胜利。
“很快。”苏星瑶由衷地赞叹道。她的目光,落在他那张几乎写满了的草稿纸上,眼神里带着几分欣赏,“你的计算能力,真的很强。像一台……性能超卓的计算机。”
这个比喻,与彦宸对张甯的评价,不谋而合。他挑了挑眉,不置可否。
苏星瑶没有在意他的沉默。她只是静静地看了几秒钟,然后,用一种商量的、带着几分不确定的语气,轻声说:“不过……我有一个想法,不知道对不对,我们可以一起探讨一下吗?”
彦宸侧过头,看向她。
眼前的女孩,今天穿了一件浅蓝色的、带着细碎白色花朵的连衣裙,外面套着一件柔软的米色针织开衫。她的头发没有像张甯那样简单地束起,而是松松地披在肩上,发梢微微卷曲,带着一种精心打理过的、不经意的弧度。昨夜的春雨似乎也洗涤了她的眉眼,让她那双总是带着笑意的眸子,显得格外清澈、明亮。
她就像这间教室里,一株被阳光精心照料的植物,每一个细节,都透露出恰到好处的精致与生机。
“当然。”彦宸往旁边挪了挪椅子,示意她可以把草稿纸拿过去一点。
苏星瑶却没有动他的草稿纸。那上面,密密麻麻的演算过程,像一座刚刚经历过炮火洗礼的战场,充满了暴力破解后的痕迹。她只是从自己的桌上,抽出了一张全新的、洁白得有些晃眼的草稿纸,平整地铺在两人课桌的中间。
然后,她做出了一个彦宸已经见过数次的、属于她的“起手式”。
她从手腕上,摘下了一根酒红色的、丝绒质地的发带,用嘴唇轻轻衔住一端,然后熟练地、将那头柔顺的长发,在脑后挽成一个清爽利落的发髻。这个动作,她做得行云流水,带着一种近乎于仪式的专注感。当最后一缕发丝被收拢,露出她那光洁饱满的额头与纤细优美的天鹅颈时,她整个人的气质,也随之发生了微妙的变化。
如果说披着头发的她是温婉可人的邻家女孩,那么此刻的她,就像一位即将登上舞台的、自信从容的芭蕾舞者。那份属于少女的柔美并未减少,却多了一层令人无法忽视的、属于智者的锐利与光芒。
“解析几何的坐标法,非常强大,”她一边说,一边从笔袋里,拿出了一支红色的水笔,却没有立刻下笔,而是用笔端,轻轻地点了点彦宸画的那个椭圆,“但有时候,我觉得,它就像用一台最高精度的显微镜,去观察一幅宏伟的油画。你能看清每一个像素点的颜色,却也因此,可能会忽略掉画面本身,那种由结构与光影所构成的、最原始的‘美’。”
她的开场白,让彦宸微微一怔。
“你看,”她将彦宸的草稿纸,轻轻地拉到两人中间,“这道题,我们不如先跳出这些复杂的坐标和方程,试着回归到图形本身,去‘看’它,去感受它。”
她的声音,很柔,很轻,却带着一种不容置疑的、能够引导他人思路的魔力。
“第一个问题,求三角形的面积。你用的是勾股定理和椭圆定义联立,通过代数恒等式,最终解出了面积。这个过程,逻辑严谨,无懈可击。”她先是给予了充分的肯定,然后话锋一转,“但我们换个角度想,p点处的那个90度角,意味着什么?”
她没有等彦宸回答,便用红笔,在那个椭圆的外面,轻轻地,虚画出了一个圆。
“它意味着,p点,一定在一个以两个焦点F1和F2为直径的圆上。这个圆的圆心,就是原点;半径,就是焦距c。”
彦宸的瞳孔,微不可察地收缩了一下。
“而p点,又必须在椭圆上。”她的红笔,在椭圆与那个虚画的圆的交点处,重重地点了一下,像一个优雅的将军,在沙盘上,精准地点出了敌军的要害,“所以,点p,就是这个圆与椭圆的交点。”
“至于面积,”她笑了笑,并没有在这个问题上过多纠缠,只是用一种近乎于“常识”的语气说道,“利用焦半径公式,或者直接展开你用的那个代数恒等式,都能一眼看出,面积S,等于a2减去c2,也就是……b2。”
她顿了顿,补充道:“你看,椭圆里最重要的三个参数,a,b,c,它们本身就构成了一个直角三角形。而这个面积,恰好就是短半轴b的平方。这难道不是一种……很奇妙的、属于几何本身的和谐吗?”
彦宸沉默了。他感觉自己像一个手持重锤的矿工,费尽九牛二虎之力,终于从矿石中砸出了一块黄金。而苏星瑶,则像一个优雅的建筑师,她只是站在远处,指了指那座山脉的走势,便轻而易举地,预测出了金矿最核心的矿脉所在。
他的方法,是“解”,而她的方法,是“悟”。
“至于第二个问题,”苏星瑶的语气,变得更加轻快,像一个即将揭晓最终谜底的魔术师,“证明a2≤2c2。你用的是判别式,对吗?”
彦宸点了点头。判别式Δ≥0,这是代数方法中,判断方程是否有解的、最经典、也最可靠的“终极武器”。
“这也是一种非常严谨的、无懈可击的证明。”苏星瑶再次给予了肯定,然后,她的嘴角,勾起了一抹更深的、带着几分狡黠的笑意,“但是,我们还是回到图形上来。”
她的红笔,重新回到了那个交点上。
“我们刚才说了,p点,是椭圆与那个半径为c的圆的交点。那么,‘p点存在’的几何意义,是什么呢?”
“是……这两个图形,必须有交点。”彦宸下意识地回答道。
“完全正确!”苏星瑶的眼中,闪过一丝赞许的光,“那么,我们来想象一下。这个圆,它的半径是c,是固定的。而这个椭圆呢?它的形状,是可以变化的。当椭圆越来越‘胖’的时候,它的短半轴b会变大;当它越来越‘扁’的时候,短半轴b会变小。”
她的手指,在空中,比划着一个椭圆由胖变扁的过程。那动作,充满了韵律感。
“我们知道,椭圆上的点,离坐标原点最远的地方,是长轴的端点a;最近的地方,是短轴的端点b。而我们要找的这个交点p,它到原点的距离,又是多少呢?”
“是c。”彦宸感觉自己的思路,已经完全被她带着走了。
“没错!”苏星瑶的声音,带着一种发现真理的喜悦,“点p,既在椭圆上,又在那个半径为c的圆上。那么,椭圆上,就必须存在一个点,它到原点的距离,正好等于c。而椭圆上,所有点到原点的距离,是在b和a之间的。所以,c这个距离,也必须在b和a之间。也就是说,c必须大于等于b。”
“b≤c。”
这三个字,像一道闪电,瞬间劈开了彦宸脑海中所有的迷雾。
“而根据椭圆的基本性质,a2=b2+c2。”苏星瑶用红笔,在纸上,写下了这个最终的、也是最关键的公式,“我们把b≤c这个条件,代换进去。b2≤c2,那么,a2-c2≤c2。所以……”
她将最后的结论,清晰地,写在了彦宸那堆复杂的判别式计算的旁边。
“a2≤2c2。”
整个世界,都安静了下来。
彦宸呆呆地看着草稿纸上,那一黑一红,两种截然不同的解题路径。
他的黑色字迹,繁复,严谨,充满了机械般的力量感,像一篇逻辑缜密的、充满了引经据典的学术论文。
而她的红色字迹,简洁,优雅,充满了直觉与顿悟的灵光,像一首意象精准、余韵悠长的五言绝句。
他的方法是“术”,而她的方法,是“道”。
“厉害。”
许久,彦宸才由衷地吐出了这两个字。这不是客套,也不是调侃,而是一个骄傲的解题者,对另一个更优秀的解题者,所能献上的、最高规格的敬意。
他看着眼前这个女孩,第一次,如此清晰地,将她与昨日那个穿着自己外套、在众人面前展现“胜利”的形象,剥离开来。此刻站在他面前的,不是一个工于心计的对手,而是一个纯粹的、闪闪发光的、对数学之美有着惊人直觉的……同类。
“苏星瑶,”他由衷地说道,“你……真是个天才。”
这句赞美,比昨天那句“光彩熠熠”,要更加沉重,也更加真诚。那是一种……一个顶级的匠人,在见识了宗师那神乎其技的、艺术般的创造后,所能表达的、最高规格的敬意。
苏星瑶脸上的笑容,因为他这句坦率的赞美,而变得更加明亮,也更加真实。她轻轻地摇了摇头,谦虚地说:“不是天才啦。我只是……更喜欢去感受这些图形背后的‘呼吸’而已。”
“呼吸……”彦宸咀嚼着这个词,若有所思。
“叮铃铃——”
清脆的上课铃声,不合时宜地,响彻了整个校园。它像一颗投入池塘的石子,瞬间打破了两人之间那片充满了智性与美感的、宁静的气场。
苏星瑶迅速地解下了发带,任由那一头乌黑的长发,重新披散下来。她变回了那个温柔而美丽的邻家女孩,仿佛刚才那个逻辑缜密、光芒四射的“学者”,只是彦宸的一个错觉。
彦宸的目光,从她的脸上移开,落回到那张写满了黑色与红色字迹的草稿纸上。
他的心里,第一次,不受控制地,涌起了一个荒谬而又危险的念头。
苏星瑶这个人,她就像她刚刚展示的那种解题思路一样。
她本身,就是一个美丽的、危险的、充满了致命诱惑的……最优解。